Manche lieben sie, manche hassen sie – aber es ist unbestritten: Mathematik kann sehr nützlich sein. Warum ist das so?
Das teleologische Argument von der Nützlichkeit der Mathematik
Das Universum ist verständlich, rational einsichtig – mathematisch fassbar. Aber Mathematik schaut aus wie eine reine Erfindung der Menschen. Mathematiker können sie entwickeln, erforschen und testen, ohne je einen Schritt vor die Tür zu machen. Es geht sogar mit geschlossenen Augen.
Trotzdem können wir die Mathematik verwenden um wichtige Aspekte der Welt zu verstehen. Wieso?
(1) Die Nützlichkeit der Mathematik ist empirisch erwiesen.
(2) Die Mathematik ist eine geistige, nicht-empirische Wissenschaft über nicht-materielle Objekte.
(3) Unter materialistischen Gesichtspunkten ist die Nützlichkeit der Mathematik unerklärlich.
(4) Daher hat sie eine nicht-materialistische Erklärung.
Dieses Argument ist teleologisch, denn die Erklärung der Nützlichkeit der Mathematik wird auf die Absicht, das Ziel (griechisch télos) Gottes zurückgeführt, der Welt eine Form zu geben, die Menschen mit ihrem Verstand verstehen können.
(1) Die rätselhafte Nützlichkeit der Mathematik.
Der Physiker und Nobelpreisträger Eugene Wigner hat diesen Gedankengang 1960 in einem klassischen Aufsatz beschrieben. Er fängt so an:
Bild: Nobel Foundation auf commons.wikimedia.org
„Es gibt die Geschichte über zwei Freunde, die zusammen in der Schule waren und über ihre Jobs sprachen. Einer wurde Statistiker und arbeitet an Bevölkerungsentwicklungen. Er zeigte seinem Freund einen seiner Artikel. Am Anfang war wie immer die Gauss‘sche Normalverteilung und der Statistiker erklärte alle Symbole für die tatsächliche Bevölkerung, für die durchschnittliche Bevölkerung und so weiter. Sein Schulfreund war ein bisschen ungläubig und war sich nicht sicher, ob der Statistiker ihn auf den Arm nahm. ‚Woher weißt du das?“, fragte er. ‚Und was ist dieses Symbol hier?‘ – ‚Oh‘, sagte der Statistiker, ‚das ist Pi.‘ ‚Was ist das?‘ – ‚Das Verhältnis des Umfangs eines Kreises zu seinem Durchmesser.‘ – ‚Jetzt treibst Du aber Deinen Witz zu weit‘, sagte der Schulfreund, ‚sicherlich hat die Bevölkerung nichts mit dem Umfang eines Kreises zu tun.‘
Natürlich sind wir geneigt, über die Einfachheit des Zugangs des Schulfreundes zu lächeln. Trotzdem muss ich zugeben, dass ich ein mulmiges Gefühl bei der Geschichte hatte, weil die Reaktion des Schulfreundes einfach dem gesunden Menschenverstand entsprach.“
(Eugene Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, 1)
(2) Die Mathematik ist eine geistige, nicht-empirische Wissenschaft über nicht-materielle Objekte.
Bild: Hans Braxmeier auf Pixabay
Was sollte Pi wirklich mit der Bevölkerung zu tun haben? Pi ist eine Abstraktion, ebenso wie ein Kreis und sein Umfang – es gibt in der materiellen Wirklichkeit weder einen perfekten Kreis, noch die Zahl Pi. (Ebefalls gibt es kein perfektes, rechtwinkeliges Dreieck – in der materiellen Wirklichkeit.)
„Jedoch ist sie [die Mathematik] selbst keine Naturwissenschaft im eigentlichen Sinne, da ihre Aussagen nicht von Experimenten oder Beobachtungen abhängen.“ (wikipedia.org)
In der Mathematik
„werden mathematische Aussagen durch reine Gedankenoperationen auseinander hervorgebracht oder aufeinander zurückgeführt und brauchen nicht empirisch überprüfbar zu sein.“ (wikipedia.org)
Wieso funktioniert die Mathematik trotzdem, wenn man sie auf die Welt anwendet?
(3) Unter rein materialistischen Gesichtspunkten ist die Nützlichkeit der Mathematik unerklärlich.
Wigner beendet seinen Aufsatz über die „unvernünftige“ Nützlichkeit der Mathematik mit diesen Worten:
„Das Wunder der Angemessenheit der Sprache der Mathematik für die Formulierung der physikalischen Gesetze ist ein wunderbares Geschenk, dass wir weder verstehen noch verdienen. Wir sollten dankbar dafür sein und hoffen, dass es in der zukünftigen Forschung gültig bleibt und dass es sich zur unserer Freude und möglicherweise auch zu unserem Erstaunen besser oder schlechter in weite Gebiete der Erkenntnis ausweitet.“ (Eugene Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, 14)
Mit anderen Worten: Wir wissen nicht, warum Mathematik für Physik funktioniert.
Es ist ein „Geschenk“ – wie Wigner sagt, ja, ein „Wunder“, für das wir „dankbar“ sein sollten. Und wir können nur „hoffen“, dass uns dieses Wunder weiterhin geschenkt wird.
„Geschenk“, „Wunder“, „Dankbarkeit“, „Hoffnung“ – wie sind diese Worte in ein wissenschaftliches Journal über reine und angewandte Mathematik gekommen?
(4) Die Nützlichkeit der Mathematik hat eine nicht-materialistische Erklärung.
Also, wieso funktioniert Mathematik für Physik? Wie erklären wir das? Einer Ausgabe seines Aufsatzes stellt Wigner ein Zitat des Philosophen C.S. Peirce voran:
„Es gibt wohl irgendein Geheimnis, das noch zu entdecken ist.“ (C.S.Peirce, The Order of Nature)
Peirce vermutet ebenfalls „irgendein Geheimnis“ dahinter, dass Menschen die Natur mit ihrem Verstand so genau erfassen können.
Genauso rätselhaft war das für Albert Einstein:
Bild: wikimedia.org
„Das Unverständlichste am Universum ist im Grunde, dass wir es verstehen können.“ (Albert Einstein)
Rein innerweltlich gibt es keine gute Erklärung. Das „Geheimnis“ (C.S.Peirce) lüftet sich, wenn wir über diese Welt hinausgehen.
Das „Wunder“ (E.Wigner) geht auf einen absichtlichen Eingriff Gottes zurück. Sie ist sein „Geschenk“. Gott hat alle Mathematik bereits gedacht. Deswegen haben Menschen, die etwas Neues entdecken, nicht das Gefühl, etwas erfunden, sondern gefunden zu haben. (So beschreibt es der Mathematiker Mark McCartney).
Die frühen Naturwissenschaftler waren überzeugt: Gott hat die Welt so geschaffen, dass sie Regelmäßigkeiten, also Naturgesetzen folgt. Und sie waren überzeugt, dass Gott sie „in seinem Bild“ geschaffen hat. Daraus folgt, dass er ihnen einen Verstand gegeben hat, der es ihnen erlaubt, die Abläufe der Welt zumindest teilweise zu erkennen und zu verstehen.
Für jemanden, der denkt, dass derselbe Gott die Naturgesetze und den Verstand des Menschen geschaffen hat, ist die Nützlichkeit von Mathematik in der Naturwissenschaft nicht mehr so unvernünftig.
Sie bleibt aber ein Geschenk.
Groß sind die Werke des HERRN; wer sie erforscht, der hat Freude daran. (Die Bibel, Psalm 111,2)
So schuf Gott die Menschen nach seinem Bild, als Gottes Ebenbild schuf er sie und schuf sie als Mann und als Frau. (Die Bibel, Genesis 1,27)
Ich danke dir dafür, dass ich wunderbar gemacht bin; wunderbar sind deine Werke; das erkennt meine Seele. … Aber wie schwer sind für mich, Gott, deine Gedanken! Wie ist ihre Summe so groß!
Wollte ich sie zählen, so wären sie mehr als der Sand: Wenn ich aufwache, bin ich noch immer bei dir. (Die Bibel, Psalm 139, 14.17-18)
Literatur und Weiterführendes:
Eugene Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences), in Communications in Pure and Applied Mathematics, vol. 13, Nr. I (Februar 1960). John Wiley & Sons, Inc., New York 1960, 1-14. (Der Text findet sich unter https://www.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/wigner.pdf oder https://math.dartmouth.edu/~matc/MathDrama/reading/Wigner.html)
„There is a story about two friends, who were classmates in high school, talking about their jobs. One of them became a statistician and was working on population trends. He showed a reprint to his former classmate. The reprint started, as usual, with the Gaussian distribution and the statistician explained to his former classmate the meaning of the symbols for the actual population, for the average population, and so on. His classmate was a bit incredulous and was not quite sure whether the statistician was pulling his leg. „How can you know that?“ was his query. „And what is this symbol here?“ „Oh,“ said the statistician, „this is pi.“ „What is that?“ „The ratio of the circumference of the circle to its diameter.“ „Well, now you are pushing your joke too far,“ said the classmate, „surely the population has nothing to do with the circumference of the circle. „Naturally, we are inclined to smile about the simplicity of the classmate’s approach. Nevertheless, when I heard this story, I had to admit to an eerie feeling because, surely, the reaction of the classmate betrayed only plain common sense.“ (1)
“The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. We should be grateful for it and hope that it will remain valid in future research and that it will extend, for better or for worse, to our pleasure, even though perhaps also to our bafflement, to wide branches of learning.” (14)
Der Zusammenhang des Zitates von C.S. Peirce lautet:
„Such an hypothesis naturally suggests itself, but it must be admitted that it does not seem sufficient to account for the extraordinary accuracy with which these conceptions apply to the phenomena of Nature, and it is probable that there is some secret which remains to be discovered.“ (C. S. Peirce, The Order of Nature (1878), 6.418)
Damit spielt Peirce auf seinen Gedanken der „Predesignation“ an, „eine geistige Grundkonstitution des Menschen“ (Ines Riemer, Konzeption und Begründung der Induktion: eine Untersuchung zur Methodlogie von Charles S. Peirce, Königshausen und Neumann, Würzburg 1988, 28) in Bezug auf den menschlichen Verstand, der dafür angepasst ist, die Welt zu verstehen.
Das Zitat von Albert Einstein findet sich laut en.wikiquote.org/wiki/Albert_Einstein in „Physics and Reality“ (1936).
